نمونه پایان نامه طراحی کاربردی: راهنمای نگارش و ارائه
پایان نامه طراحی کاربردی، فرصتی ارزشمند برای دانشجویان رشته های مهندسی و طراحی است تا مهارت ها و دانش خود را در حل یک مشکل واقعی به کار ببندند. این نوع پایان نامه شامل مراحل مختلفی از جمله انتخاب موضوع، انجام تحقیقات، طراحی و ساخت نمونه اولیه، آزمایش و ارزیابی و ارائه نهایی نتایج می شود.
در این مطلب، راهنمایی جامع برای نگارش و ارائه یک پایان نامه طراحی کاربردی ارائه می دهیم:
مراحل نگارش پایان نامه طراحی کاربردی:
1. انتخاب موضوع:
انتخاب موضوع مناسب برای پایان نامه طراحی کاربردی، گامی اساسی در مسیر موفقیت است. موضوعی را انتخاب کنید که علاقه مند، چالش برانگیز و قابل اجرا باشد.
نکاتی برای انتخاب موضوع:
- به علایق و مهارت های خود توجه کنید. موضوعی را انتخاب کنید که به آن علاقه دارید و در آن مهارت دارید.
- به نیازهای جامعه توجه کنید. موضوعی را انتخاب کنید که بتواند مشکلی را در جامعه حل کند یا به نیاز خاصی پاسخ دهد.
- قابلیت اجرا را در نظر بگیرید. مطمئن شوید که منابع و امکانات لازم برای انجام تحقیقات و ساخت نمونه اولیه را در اختیار دارید.
2. انجام تحقیقات:
پس از انتخاب موضوع، باید به طور کامل در مورد آن تحقیق کنید. این شامل مطالعه منابع علمی، بررسی نمونه های مشابه و جمع آوری داده ها می باشد.
3. طراحی و ساخت نمونه اولیه:
با استفاده از اطلاعات جمع آوری شده در مرحله تحقیق، باید نمونه اولیه ای از طراحی خود بسازید. نمونه اولیه باید تا حد امکان به محصول نهایی نزدیک باشد.
4. آزمایش و ارزیابی:
پس از ساخت نمونه اولیه، باید آن را به طور کامل آزمایش و ارزیابی کنید. این شامل شناسایی نقاط قوت و ضعف طراحی و انجام اصلاحات لازم می باشد.
5. ارائه نهایی:
در نهایت، باید نتایج تحقیقات، طراحی و آزمایشات خود را در قالب یک گزارش جامع ارائه دهید. این گزارش باید شامل موارد زیر باشد:
- مقدمه: در این بخش باید موضوع تحقیق، اهمیت آن و اهداف کلی پروژه را معرفی کنید.
- مرور ادبیات: در این بخش باید به بررسی منابع علمی مرتبط با موضوع تحقیق بپردازید.
- روش شناسی: در این بخش باید روش های تحقیق، طراحی و ساخت نمونه اولیه را به طور کامل شرح دهید.
- نتایج و بحث: در این بخش باید نتایج آزمایشات و ارزیابی ها را ارائه و تفسیر کنید.
- نتیجه گیری: در این بخش باید خلاصه ای از یافته های کلیدی تحقیق و پیشنهادات خود برای تحقیقات آینده ارائه دهید.
نکاتی برای ارائه نهایی:
- از ارائه ای واضح و مختصر استفاده کنید.
- از تصاویر، نمودارها و جداول برای نشان دادن اطلاعات خود استفاده کنید.
- با اعتماد به نفس و به طور شفاف صحبت کنید.
- برای سوالات مخاطبان آماده باشید.
نتیجه گیری:
نگارش و ارائه یک پایان نامه طراحی کاربردی، فرآیندی چالش برانگیز اما rewarding است. با دنبال کردن مراحل ارائه شده در این مطلب و استفاده از منابع مفید، می توانید یک پایان نامه قوی و با کیفیت ارائه دهید که به شما در رسیدن به اهدافتان کمک کند.
نمونه پایاننامه طراحی کاربردی
فصل اول: مقدمه 7
1-1 تاریخچهای به روشهای حل مسایل ارتعاش آزاد ورقها 8
1-2 روش المان محدود سلسله مراتبی 21
1-2-1 مقدمه 21
1-2-2 روشهای المان محدود 22
1-2-3 مروری بر کارهای آموزش انجام گرفته در زمینه روش المان محدود سلسله مراتبی 23
1-2-4 ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی 24
1-3 اهداف پژوهش 25
فصل سوم: تئوری‌های کلاسیک و تغییرشکل برشی مرتبه اول ورق 26
2-1 مقدمه 26
2-2 تعریف ماده عمودسانگرد 27
2-3 تئوری کلاسیک ورق لایه لایه 27
2-3-1 ميدانهاي جابجايي و کرنش 28
2-3-2 رابطه‌هاي ساختاري تنش- کرنش 29
2-3-3 فرمولبندی المان محدود 30
2-3-4 ماتریس سختی 31
2-3-5 تابعهای درونیاب لاگرانژی 32
2-3-6 تابعهای شکل هرمیتی 33
2-3-7 ماتریس جرم 36
2-3-8 روش المان محدود سلسله مراتبی برای ورق تئوری کلاسیک 38
2-3-9 تابعهای شکل سلسله مراتبی درون-صفحه 38
2-3-10 تابعهای شکل برون-صفحه 41
2-3-11 استخراج ماتریس سختی وجرم 43
2-3-12 حل عددی ورق با تئوری کلاسیک ورق 43
2-4 تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول 51
2-4-1 ميدانهاي جابجايي و کرنش 51
2-4-2 رابطه‌هاي ساختاري تنش- کرنش 53
2-4-3 فرمولبندی المان محدود 53
2-4-4 ماتریس سختی 54
2-4-5 ماتریس جرم 56
2-4-6 روش المان محدود سلسله مراتبی 57
فصل سوم: تئوری ورق دومتغیره پالوده شده 60
3-1 مقدمه 60
3-2 فرضیات اساسی 61
3-3 رابطه‌های کرنش- جابجایی 62
3-4 معادله‌های ساختاری تنش-کرنش 63
3-5 معادله‌های حرکت 65
3-6 فرمولبندی المان محدود 68
3-6-1 ماتریس سختی 69
3-6-2 ماتریس جرم 72
3-7 روش المان محدود سلسله مراتبی برای تئوری ورق دومتغیره پالوده شده 73
3-7-1 تابعهای شکل روش المان محدود سلسله مراتبی 74
3-7-1 نتیجهگیری 75
نتیجهگیری و پیشنهاد 87
4-1 نتیجه گیری 87
4-2 پیشنهادها 88
روش المان محدود سلسله مراتبی 89
پ-1-1 تابعهای شکل سلسله مراتبی……………………………………………………………………………………………………………..89
پ-1-2 تابعهای شکل سلسله مراتبی یک‌بعدی………………………………………………………………………………………………..92
پ-1-3 تابعهای شکل سلسله مراتبی المان میله………………………………………………………………………………………………..96
پ-1-4 تابعهای شکل سلسله مراتبی المان تیر………………………………………………………………………………………………….98
پ-1-5 تابعهای مثلثاتی یک‌بعدی……………………………………………………………………………………………………………..101
پ-1-6 تابعهای شکل سلسله مراتبی دوبعدی (المان مستطیلی)………………………………………………………………………….102
مراجع 104
فهرست جدول‌ها
جدول 3 1- مقایسه ی تقریب همگرایی روشهای المان محدود برای ورق مستطیلی همسانگرد تئوری کلاسیک ورق 44
جدول 3 2- فرکانس طبیعی بیبعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیSSSS 45
جدول 3 3- فرکانس طبیعی بیبعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCCC 46
جدول 3 4- فرکانس طبیعی بیبعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCSS 46
جدول 3 5- فرکانس طبیعی بیبعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیSFSF 47
جدول 3 6- فرکانس طبیعی بیبعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCFCF 47
جدول 3 7- فرکانس طبیعی بیبعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیFFFF 48
جدول 3 8- فرکانس طبیعی بیبعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCFFF 48
جدول 3 9 فرکانس‌های ارتعاش آزاد بیبعد ورق عمودسانگرد نامتقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک 49
جدول 3 10- فرکانس‌های ارتعاش آزاد بیبعد ورق عمودسانگرد متقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک 50
جدول 3 11- مقایسه ی همگرایی فرکانس‌های بیبعد ورق مستطیلی همسانگرد بر پایه تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول 58
جدول 4 1- مقایسه تعداد متغیرهای مجهول در تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر 61
جدول 4 2- مقایسهی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بیبعد ورق مستطیلی عمودسانگرد تک‌لا بر پایه تئوری RPT 76
جدول 4 3 مقایسهی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بیبعد ورق عمودسانگرد نامتقارن بر پایه تئوری RPT 77
جدول 4 4- فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بیبعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با 78
جدول 4 5- فرکانس طبیعی ارتعاش آزاد بیبعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با 79
جدول 4 6- مقایسهی فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بیبعد برای یک ورق نامتقارن 80
جدول 4 7- مقایسهی فرکانس مبنای بیبعد برای یک ورق تک‌لا با شرایط مرزی مختلف( ) 82
فهرست شکل‌ها
شکل 1 1 تقریب خطی جابجایی در تئوری لایهلایهای برای مولفه‌های جابجایی لایه‌یI ام [59 ] 11
شکل 1 2- يک ورق مستطيلي بر اساس فرض‌هاي تئوری کلاسیک، قبل و پس از تغییر شکل [59 ] 12
شکل 1 3- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، قبل و پس از تغییر شکل] [59 13
شکل 1 4- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم، قبل و پس از تغییر شکل] [59 15
شکل 1 5- مقایسه کیفی جابجایی مولفه‌های درون-صفحه در راستای ضخامت ورق در تئوری‌های مختلف ورق ] [59 16
شکل 3 1- دستگاه مختصه‌هاي مادي و جهاني ورق مرکب تک‌لا] [59 30
شکل 3 2 المان مستطیلی چهار‌گرهی 32
شکل 3 3 یک المان مستطیلی ناهم‌دیس با سه درجه آزادی در هر گره [59 ] 34
شکل 3 4 یک المان مستطیلی هم‌دیس با چهار درجه آزادی در هر گره [59 ] 35
شکل 3 5 چیدمان تابعهای درون-صفحه سلسله‌مراتبی المان مستطیلی به‌دست آمده از ضرب تابعهای شکل المان میله 39
شکل 3 6 روش به‌دست آوردن تابعهای شکل دوبعدی سلسله مراتبی با مرتبه پیوستگی به‌صورت نمادین 40
شکل 3 7 روش به‌دست آوردن تابعهای شکل دوبعدی سلسله مراتبی مرتبه پیوستگی به‌صورت نمادین 42
شکل 3 8 چیدمان تابعهای برون-صفحه سلسله مراتبی المان مستطیلی به‌دست آمده از ضرب تابعهای شکل یک‌بعدی تیر 42
شکل 4 1 دستگاه مختصات و شماره‌گذاری لایه‌ها برای یک ورق لایه‌لایه 61
شکل 4 2 وضعیت درجه‌های آزادی مرز المان مستطیلی برای شرط مرزی تکیه‌گاهی ساده نوع اول 75
شکل 4 3 شرایط مرزی مختلف ورق مستطیلی] [42 81
شکل 4 4 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSSS 83
شکل 4 5 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیCCCC 83
شکل 4 6 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیFFFF 84
شکل 4 7 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیCCFF 84
شکل 4 8 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSCC 85
شکل 4 9 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSCF 85
شکل 4 10 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSFF 86
شکل 4 11 جابجایی عرضی شکلمود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSSF 86
شکل پ 1 یک میله تحت اثر نیروی حجمی b و تقریب آن با استفاده از روشهای المان محدود استاندارد وسلسله مراتبی ] [61…….90
شکل پ-2 نمایش تابعهای شکل سلسله مراتبی و مشتق اول آن‌ها ] [61………………………………………………………………………………..93
شکل پ-3 تابع‌های‌شکل سلسله مراتبی المان میله ] [62……………………………………………………………………………………………………..97
شکل پ-4 تابعهای شکل سلسله مراتبی المان تیر ] [62……………………………………………………………………………………………………100
شکل پ-5 تابع‌های‌شکل سلسله مراتبی مثلثاتی برای المان تیر ] [62…………………………………………………………………………………..102
شکل پ-6 تابعهای شکل استاندارد لاگرانژی و سلسله مراتبی با یک‌چندجمله‌ای اضافه‌شده ] [61……………………………………………103
چکیده
در این رساله‌یا‌تز تئوری‌های کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری دومتغیره پالوده شده برای مساله ارتعاش آزاد، با استفاده از روشهای المان محدود استاندارد و المان محدود سلسله مراتبی بررسی می‌گردد. تئوری دومتغیره پالوده شده یک تئوری تک‌لای معادل است، که در آن برای بیان میدان جابجایی از دو مولفه‌ی خمشی و برشی استفاده می‌گردد و مولفه‌ی خمشی در نیرو‌های برشی تاثیرگذار نیست، درحالی که مولفه‌ی برشی نیز تاثیری در گشتاور‌های خمشی ندارد. با حذف مولفه‌ی برشی، این تئوری به تئوری کلاسیک ورق شبیه خواهد شد. هم‌چنین این تئوری تغییرات کرنش برشی در راستای ضخامت ورق را سهموی در نظر‌گرفته و بنابراین نیاز به ضریب اصلاح برشی نمی‌باشد. روش المان محدود سلسله مراتبی یک روش پالایش شبکه‌بندی المان است، که در آن با افزایش مرتبه تابعهای شکل به‌کار رفته برای تقریب جابجایی، در تعداد نقاط گرهی المان تغییری ایجاد نمی‌شود. در این پژوهش ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی و تابعهای شکل المان یک بعدی قابل استفاده، توضیح داده میشود، سپس روش استفاده از این تابع‌ها برای المان دوبعدی بیان می‌گردد. در ادامه فرمولبندی روشهای المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای تئوری‌های کلاسیک ورق لایه‌لایه به‌دست می‌آید و فرکانس‌ها برای شرایط مرزی گوناگون و با تغییر تعداد لایه‌ها با حل دقیق مقایسه می‌گردد. مشاهده میشود، که در روش المان محدود سلسله مراتبی با استفاده از درجه‌های آزادی کمتر، پاسخ‌های دقیق‌تری نسبت به روش المان محدود استاندارد به‌دست می‌آید. هم‌چنین فرمولبندی المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی برای تئوری تغییر شکل برشی مرتبه‌اول به‌دست می‌آید و اثر قفل برشی، با تغییر نسبت طول به ضخامت ورق بررسی می‌گردد. با استفاده از روش المان محدود سلسله‌مراتبی ضمن جلوگیری از اثر قفل برشی، نتیجه‌های فرکانس آزاد ورق از دقت بهتری نسبت به روش المان محدود استاندارد برخوردار است. پس از آن تئوری دومتغیره پالوده شده ورق ارایه گردیده و معادله‌های حرکت و فرمولبندی روشهای المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای آن به‌دست می‌آید. فرکانس‌های طبیعی در این تئوری برای ورق‌های عمودسانگرد لایه‌لایه متقارن و نامتقارن برای مودهای مبنا و بالاتر به روش حل دقیق، روشهای المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی به‌دست آمده است. با مقایسه نتیجه‌ها، برتری روش المان محدود سلسله مراتبی نسبت به روش المان محدود استاندارد مشاهده می‌گردد. سپس با تغییر پارامترهای مختلف ورق عمودسانگرد لایه‌لایه عمودچین و اریب‌چین مانند نسبت مدول‌های الاستیسیته، تغییر نسبت طول به ضخامت و تغییر نسبت طول به عرض برای شرایط تکیه‌گاهی مختلف ورق، رفتار این تئوری به روشهای المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی بررسی و با نتیجه‌های حل دقیق این تئوری مقایسه می‌گردد.
کلمه‌های کلیدی: تئوری کلاسیک ، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ، تئوری دومتغیره پالوده شده، روش المان محدود استاندارد، روش المان محدود سلسله مراتبی
1- فصل اول
فصل اول: مقدمه
استفاده از مواد مرکب در سازه‌های هوافضا، خودروسازی و دریانوردی کاربرد گسترده‌ای دارد. بهطورکلی مواد مرکب از دو بخش رشته و زمینه تشکیل میشود. رشته‌ها معمولا سخت‌تر و قوی‌تر از زمینه هستند و بار اصلی در ماده مرکب را تحمل می‌کنند و زمینه به عنوان محافظ رشته‌ها و هم‌چنین وسیله توزیع بار است. زمینه و رشته‌ها در دما و فشار کنترل شده‌ای به یکدیگر می‌چسبند و ماده مرکب را به وجود می‌آورند که از نظر ویژگی‌های مکانیکی از هر دو ماده متفاوت است. مواد مرکب را می‌توان برای استحکام، سختی، خستگی و مقاومت در برابر گرما و بخار با تغییردر جهت الیاف بهینه‌سازی کرد. ویژگی دیگر مواد مرکب نسبت به مواد معمولی، نسبت استحکام به وزن بالای آن‌ها است. اجزای سازه‌ای نظیر تیر و ورق از طریق رویهم‌گذاری لایه‌ها در زاویه‌های مختلف به‌منظور دستیابی به ویژگی‌های مطلوب ایجاد می‌شوند.
پدیده تشدید در اجزای سازه و سیستم‌های مکانیکی، عمر تجهیزات را کم می‌کند و حتی باعث شکست کامل و زودرس می‌گردد. تشدید، تحت تاثیر ویژگی‌های جرم و سختی سازه می‌باشد. آنالیز مودال، مودهای ارتعاشی و فرکانس‌های آن را به‌دست می‌آورد. این روش برای سازه‌های ساده قابل استفاده است. اما وقتی‌که سازه پیچیده میشود یا تحت بارگذاری‌های پیچیده قرار می‌گیرد، از روش تحلیل المان محدود برای به‌دست آوردن فرکانس‌های طبیعی و مودهای سیستم استفاده می‌گردد.
1-1 تاریخچهای به روشهای حل مسایل ارتعاش آزاد ورقها
شروع مطالعه رفتار ارتعاشی ورقها به انتهای دهه 1800 باز می‌گردد، زمانی که ریلی روش معروف خود را برای بررسی ارتعاش آزاد سازه‌ها ارایه داد. [3] پس از آن ریتز در سال 1909 روش ریلی را با در نظر‌گرفتن مجموعه‌ای از تابعهای شکل آزمون بهبود بخشید، که هر‌کدام ضرایب دامنه مستقلی دارند. به این ترتیب روش ریلی-ریتز به یکی از روشهای تقریبی پرکاربرد در زمینه بررسی رفتار ارتعاش سازه‌ها تبدیل شد. پس از آن، تحقیقات گسترده‌ای در زمینه ارتعاش ورق‌هایی با شکل‌های مختلف، شرایط مرزی و بارگذاری متفاوت صورت گرفت. بخش عمده‌ای از این مطالعه‌ها به ورق‌های نازک محدود میشود که در آن از اثر تغییر شکل‌های برشی صرف نظر شده است. [8]
بر خلاف ورق‌های نازک، اثر تغییر شکل‌های برشی در ورق‌های ضخیم قابل ملاحظه است. صرف نظر‌کردن از اثرهای برشی در این نوع ورقها ، منجر به افزایش قابل ملاحظه مقدار فرکانس‌های ارتعاشی در جهت عدم اطمینان میشود. از این رو تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه اول مانند تئوری ریزنر–میندلین و دیگر تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه‌های بالاتر توسط محققین مختلف برای بررسی رفتار ارتعاش ورقها مورد استفاده قرار گرفته است.
میندلین و همکارانش، ارتعاش ورق‌های مستطیلی ضخیم با شرایط مرزی چهار طرف مفصل و شرایط لوی را بررسی نمودند و حل تحلیلی آن‌ها را ارایه دادند. آن‌ها به این نتیجه رسیدند، که در ورق های چهار طرف مفصل سه دسته مود مستقل قابل حصول است. هم‌چنین در‌هم‌کنش سایر مودها برای ورقی با یک جفت مرز آزاد و جفت دیگر مفصلی مورد مطالعه قرار گرفت.
نور [9] در سال 1973 به بررسی ارتعاش آزاد ورق‌های مرکب لایه‌لایه پرداخت. وی نتیجه‌های حاصل از تئوری کلاسیک ورق لایه‌لایه ، تئوری میندلین و تئوری الاستیسیته سه‌بعدی را با یکدیگر مقایسه نمود وبه این نتیجه رسید، که تئوری کلاسیک ورق برای تخمین رفتار ارتعاش ورق‌هایی با درجه عمودسانگردی بالا و نسبت ضخامت به طول بیشتر از 1/0 مناسب نیست. این در‌حالی‌است که نتایج تئوری میندلین، برای برآورد فرکانس‌های ارتعاش پایین در ورق‌های نسبتا ضخیم لایهلایهای با نسبت ضخامت به طول کمتر از2/0 رضایت‌بخش است.
روش ریلی-ریتز در سال 1980 توسط داو و رانائل [10] برای ارتعاش آزاد ورق میندلین به‌کار برده شد. ایشان از تابعهای تیر تیموشینکوف به عنوان تابعهای شکل استفاده نمودند و ورق‌های مربعی با پنج ترکیب مختلف از شرایط مرزی را بررسی کردند. ایشان هم‌چنین این روش را برای حالتی بسط دادند که ورق تحت تنش‌های درون-صفحه‌ای است. براساس این روش لیو و همکارانش ارتعاش ورق‌های دایره‌ای و حلقوی شکل را برای شرایط مرزی متفاوت بررسی کردند. [11] این روش هم‌چنین در مطالعه ارتعاش ورق‌های متوازی الاضلاع و مثلثی با شرایط مرزی مختلف مورد توجه قرار گرفت.
تعداد زیادی از محققین، از روش المان محدود در بررسی ارتعاش آزاد ورقها بهره جستند. به عنوان مثال راک و هینتون ][59 ، المان‌های خمشی چهار ضلعی هم پارامتری را به منظور تحلیل ارتعاش ورق‌های ضخیم ونازک معرفی نمودند. چونگ و کواک [12] ، المان‌های حلقوی و قطاع شکل را برای مطالعه ارتعاش آزاد ورق‌های لایهلایهای ضخیم با مرزهای منحنی شکل توسعه دادند. ردی و کوپاسامی[13] ، روش المان محدودی را براساس تئوری الاستیسیته سه بعدی برای ارتعاش آزاد ورق‌های لایهلایهای ناهمسانگرد مستطیلی ارایه داد.
روش نوار محدود FSMنیز به عنوان یکی از روشهای پرکاربرد در زمینه حل مسایل مقادیر ویژه توسط بسیاری از محققین مورد استفاده قرار گرفته است. در مرجع [14] از تئوری‌های تغییر شکل برشی برای بررسی مسایل ارتعاش آزاد ورق‌های مرکب لایه‌لایه استفاده شده است.
میدان جابجایی و تنش‌های عرضی، به‌دلیل حفظ شرایط همسازی و تعادل از شرایط پیوستگی نوع در راستای ضخامت ورق برخوردارند. بر این اساس، تئوری‌های مختلفی برای مسایل ورق و پوسته‌ها توسط محققین ارایه شده است. از میان انبوه تئوری‌های موجود، آن دسته از تئوری‌هایی که متغیرهای مجهول آن‌ها از جنس جابجایی هستند، براساس چگونگی تعریف مولفه‌های میدان جابجایی و مدل‌سازی پیوستگی بین لایه‌ها در دو گروه طبقه‌بندی می‌شوند.
الف) تئوری‌های لایهلایهای
در این دسته از تئوری‌ها، میدان جابجایی درهر لایه به صورت مستقل تعریف میشود. بنابراین در لایه ام خواهیم داشت
1 1
تعداد متغیرهای مجهول در این نوع فرمول‌‌سازی، بستگی به مقدار لایه‌ها دارد. معادله‌های حاکم برای هر لایه به صورت جداگانه نوشته میشود و شرایط مرزی بین لایه‌ای مرتبط با تنش‌ها و تغییر شکل‌ها به عنوان شرط‌های اضافی اعمال می‌گردند.
در صورت اهمیت جزئیات رفتار هر یک از لایه‌ها به‌صورت جداگانه و یا احتمال بروز تغییرات شدید گرادیان مولفه‌های میدان جابجایی در بین لایه‌ها، لزوم استفاده از تئوری‌های لایهلایهای قابل توجیه است. اگرچه کاربرد آن‌ها منجر به افزایش تعداد مجهول‌های مساله و پیچیدگی بیشتر آن می‌گردد. تئوری‌های لایهلایهای برخلاف تئوری‌های تک‌لایه معادل، امکان ارضای پیوستگی تنش‌های عرضی در مرز بین لایه‌ها را فراهم می‌سازد. این تئوری‌ها به دو دسته عمده تقسیم می شوند:
1) تئوری‌های لایهلایهای جزیی
دراین تئوری‌ها توزیع لایه‌ای تنها برای مولفه‌های درون-صفحه‌ای میدان جابجایی در نظر گرفته میشود.
2) تئوری‌های لایهلایهای کامل
که در آن هر سه مولفه جابجایی در هر لایه به صورت جداگانه تعریف می‌شوند.
تئوری‌های لایهلایهای قابلیت بیان تغییرات زیگزاگی مولفه‌های جابجایی درون-صفحه‌ای را در راستای ضخامت ورق دارند. این رفتار زیگزاگی در ورق‌های لایهلایهای ضخیم آشکارتر است، به دلیل این‌که در آن‌ها مدول برشی عرضی تغییرات شدیدی در راستای ضخامت ورق دارد. تعداد بسیاری از این دسته از تئوری‌ها در مراجع ][59 و ][6 یافت میشود. به‌عنوان نمونه، کو و همکاران ] [8، تئوری لایهلایهای درجه‌های بالایی را به فرم زیر برای آنالیز دینامیکی ورق‌های لایهلایهای به‌کار برده‌اند. نثیر و همکاران، [7] شکل تعمیم‌یافته‌ای از این نوع تئوری‌ها را با بیان متغیرهای جابجایی براساس چند‌جمله‌ای‌های لاگرانژی ارایه دادند.
شکل 1 1 تقریب خطی جابجایی در تئوری لایهلایهای برای مولفه‌های جابجایی لایه‌یI ام [59 ]
ب) تئوری‌های تک‌لایه معادل
در این روش همه‌ی ورق لایه‌لایه، به‌عنوان یک لایه معادل در نظر گرفته شده است و مولفه‌های میدان جابجایی به فرم زیر بیان می‌شوند.
(1 2)
در ادامه به‌منظور آشنایی بیشتر با تئوری‌های ورق، مروری بر تئوری کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر خواهد گردید و در پایان مقاله‌های مرتبط با تئوری دومتغیره پالوده شده بیان می‌گردد.
1)تئوری کلاسیک ورق‌های لایه‌لایه ای
این تئوری فرم توسعه یافته تئوری معروف کلاسیک ورق برای ورق‌های مرکب لایه‌ای است. در این تئوری میدان جابجایی به شکل زیر بیان می‌گردد.
(1 3)
که ، و مولفه‌های تغییر مکان در راستای ، و دستگاه مختصات در یک نقطه از میان-صفحه است.
به‌طور کلی سه شرط در این تئوری مورد استفاده قرار گرفته است.
الف: صفحه عمود بر میان صفحه بعد از تغییر شکل هم بر میان-صفحه عمود باقی می‌ماند.
ب: یک خط مستقیم، عمود بر صفحه میانی پس از تغییر شکل نیز به صورت مستقیم و بدون انحنا می‌باشد.
ج: طول خط مستقیم عمود بر صفحه میانی قبل ازتغییر شکل، پس از تغییر شکل نیز تغییر نمی‌کند.
شکل 1 2- يک ورق مستطيلي بر اساس فرض‌هاي تئوری کلاسیک، قبل و پس از تغییر شکل [59 ]
در نظر گرفته نشدن اثرهای تغیر شکل برشی عرضی، کاربرد تئوری کلاسیک ورق را به وررق‌های نازک و ورق‌های با نسبت مدول الاستیسیته به مدول برش کم، محدود می‌سازد. در بسیاری از کاربرد‌های مهندسی، مثلا سیلندرهای راکتورهای هسته‌ای، لزوم استفاده از دیواره‌های ضخیم امری گریز ناپذیر است . در این موارد نتایج آنالیز تئوری کلاسیک قابل اعتماد نخواهد بود. و موجب به‌دست آمدن مقدار تغییر شکل کمتر و فرکانس طبیعی و بار بحرانی بیشتری در جهت عدم اطمینان میشود. از این رو به‌منظور در‌نظر‌گرفتن اثرهای تغییر شکل برشی عرضی در رفتار ورقها و پوسته‌ها، دسته جدیدی از تئوری‌ها موسوم به تئوری‌های تغییر شکل برشی توسعه داده شده است.
2) تئوری‌های تغییر شکل برشی
اولین تحقیق‌ها در زمینه بررسی رفتار ورق‌های ضخیم در میانه‌ی دهه 1940 و ابتدای 1950 توسط ریزنر و میندلین صورت گرفت. تفاوت اصلی بین این دو تئوری این است، که تئوری ورق ریزنر از اصل وردشی انرژی کرنشی مکمل، با فرض توزیع تنش برشی سهموی و توزیع تنش خمشی خطی به‌دست آمده است و میندلین تئوری خود را با فرض تغییرات خطی جابجایی در جهت ضخامت ورق و تغییر طول ناچیز در جهت ضخامت نسبت به ضخامت ارایه نمود. با مقایسه این دو تئوری ] [18 مشخص است، که تنش نرمال در تئوری میندلین صرف‌نظر شده است، درحالی که در تئوری ورق ریزنر این تنش نرمال حساب میشود. تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول براساس میدان جابجایی زیر بیان می‌گردد.
(1 4)
که در آن ، ، مولفه‌های تغییر مکان در راستای ، و دستگاه مختصه‌های در یک نقطه از میان صفحه است. و چرخش‌های مستقل یک المان خطی بر میان صفحه حول محورهای و است.
به‌طور کلی دو شرط در این تئوری مورد استفاده قرار گرفته است.
الف: یک خط مستقیم عمود بر میان-صفحه، پس از تغییر شکل به صورت مستقیم باقی می‌ماند.
ب: طول خط مستقیم عمود بر صفحه میانی قبل ازتغییر شکل، بعد از تغییر شکل نیز تغییر نمی‌کند.
تفاوت این تئوری با تئوری کلاسیک ورق در این است که خط عمود بر صفحه میانی پس از تغییر شکل غیرعمود میشود و نسبت به میان-صفحه زاویه می‌گیرد. به‌دلیل این‌که فرض‌های کرنش برشی ثابت یک ساده‌سازی است، می‌توان با استفاده از یک ضریب اصلاح برشی k در رابطه‌های ساختاری رفتار مدل را اصلاح نمود.
شکل 1 3- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، قبل و پس از تغییر شکل] [59
تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول توسط ویتنی و پاگانو ] [59 برای مطالعه رفتار ارتعاشی و خمشی ورق‌های ناهمسانگرد و توسط لیو و همکارانش [1] برای تحلیل ورق‌های ضخیم به‌کار رفته است.
به‌منظور تقریب دقیق‌تری از تغییر شکل برشی و تغییر شکل عمودی ورقها، تئوری های تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر، براساس بسط تیلور مرتبه بالاتر مولفه‌های میدان جابجایی در راستای ضخامت ورق توسعه پیدا نمودند. در این دسته از تئوری‌ها، میدان جابجایی درون-صفحه در راستای ضخامت غیرخطی خواهد بود و هم‌چنان جابجایی در راستای ضخامت ورق ناچیز فرض می‌گردد. از میان تئوری‌های مرتبه بالاتر می‌توان به تئوری مرتبه دوم ویتنی و سان ] [59 ، کوتام و گانسان [2] و نقدی ] [23 اشاره نمود. تئوری تغییر شکل مرتبه دوم نقدی، تقریبا نتیجه‌های بهتری را نسبت به تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ارایه داده است، اما هم‌چنان نقص‌های تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول را دارد. میدان جابجایی برای این تئوری به‌صورت زیر ارایه می‌گردد.
(1 5)
که در این رابطه ، ، ، ، و تابعهای مجهول در دستگاه مختصه‌های و هستند. به‌منظور ایجاد رفتار سهموی تنش برشی در جهت ضخامت ورق و برقراری شرط تش برشی صفر روی سطح‌های بالا و پایین ورق، تئوری‌های مرتبه سوم ] [21، ارایه گردید. در میان تئوری‌های مرتبه سوم، تئوری لوینسون [4]و ردی ][5 بیش از سایر تئوری‌های مرتبه‌های بالاتر در مطالعه ورق‌های مرکب به‌کار رفته است.
ردی ] [5 در سال 1980 ، توزیع تنش برشی عرضی را سهموی و با کمک تابعهای چندجملهای تا مرتبه سه و برقراری شرط تنش برشی صفر روی سطح‌های آزاد ورق در بالا و پایین ایجاد نمود، بنابراین نیازی به ضریب اصلاح برشی در این تئوری نیست و هم‌چنان شرط کرنش صفر در جهت ضخامت در این تئوری نیز برقرار است. میدان جابجایی برای تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم، با چند‌جمله‌ای‌های مرتبه سوم به‌صورت زیر بیان میشود.
(1 6)
تئوری‌های ورق را می‌توان با بسط مرتبه‌ی مجموعه‌ها برای جابجایی در راستای ضخامت در جهت عمود بر میان-صفحه‌ی ورق گسترش داد. در اصل، تئوری‌هایی که به این روش توسعه یافته‌اند، تعداد جمله‌های بیشتری در مجموعه چندجملهای میدان جابجایی برای دقت بیشتر استفاده می‌کنند. این تئوری‌های مرتبه بالاتر، پیچیده و دارای هزینه محاسباتی سنگین می‌باشند، به‌دلیل این‌که هر رتبه نمایی که به میدان جابجایی در راستای ضخامت ورق اضافه میشود، یک درجه آزادی استقلال بیشتر به سیستم اضافه می‌کند. در ادامه چند نمونه از این تئوری‌ها بیشتر توضیح داده میشود.
شکل 1 4- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم، قبل و پس از تغییر شکل] [59
حنا و لیسا ] [21 درسال 1994، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر جدیدی را برای بررسی ارتعاش آزاد ورق ضخیم ارایه می‌دهند. پس از برقراری شرط تنش برشی صفر روی سطح‌های بالایی و پایینی ورق، میدان جابجایی به‌صورت زیر بیان گردیده است.
(1 7)
همان‌طور که مشاهده میشود، در رابطه‌ی بالا در صورت حذف ، و رابطه‌ای شبیه به تئوری تغییر شکل مرتبه اول میندلین به‌دست می آید، که جابجایی عرضی میان-صفحه و و دوران میان-صفحه به‌دلیل خمش است. ، و بیانگر مولفه‌های اصلاحی مرتبه بالاتر برای هر مولفه جابجایی ورق هستند. پارامترهای و شرط عمود بودن میان-صفحه را حذف می‌نمایند و اجازه می‌دهد تا صفحه‌های بالا و پایین ورق به صورت مستقل نسبت به میان-صفحه در جهت ضخامت ورق در حین حرکت ارتعاشی جابجا شوند.
کریشنا مورتی ] [20 در سال 1975، تئوری تغییر شکل مرتبه بالاتر دیگری را برای بررسی ارتعاش آزاد ورق ضخیم ارایه می‌دهد. او در تئوری خود برای میدان جابجایی درون-صفحه از یک مجموعه با تعداد جمله‌های نامتناهی استفاده می‌نماید و میدان جابجایی ، و در دستگاه مختصه‌های ، و به‌صورت زیر بیان می‌شوند.
(1 8)
جابجایی‌های درون-صفحه ، ، ، ، و چندجملهای فقط تابع مختصه‌های و هستند. در صورتی که فقط دو جمله اول این تئوری در نظر گرفته شود، این تئوری مشابه تئوری تغییر شکل مرتبه اول می‌باشد. مولفه‌های و ، به‌منظور ایجاد حرکت‌های دلخواه در جابجایی‌های و در راستای ضخامت ورق استفاده گردیده اند. تغییر در راستای ضخامت ورق به‌دلیل تاثیر ناچیز بر فرکانس‌های طبیعی مودهای خمشی چشم‌پوشی گردیده است .
در حالتی که در ارتعاش خمشی ورق ضخیم و نسبت به پادمتقارن در نظر گرفته شوند، در مقدار صفر می‌باشد. در سطح‌های بالا و پایین ورق تنش برشی صفر است( ). برای برقراری این شرایط به‌صورت زیر انتخاب شده است.
(1 9)
که در آن می‌باشد.
شکل 1 5- مقایسه کیفی جابجایی مولفه‌های درون-صفحه در راستای ضخامت ورق در تئوری‌های مختلف ورق ] [59
در سال 2002 شیمپی ][19 ، در مقاله‌ای تئوری جدیدی به نام تئوری دومتغیره پالوده شده ورق برای تحلیل ورق به روش تک‌لای معادل ارایه نمود. در این تئوری، تغییرات تنش برشی سهموی در نظر گرفته میشود و به همین دلیل در تئوری‌های تغییر شکل مرتبه بالاتر دسته‌بندی می‌گردد. او در این تئوری فرض می‌کند که مولفه‌های جابجایی درون-صفحه و برون-صفحه ورق، هر دو دارای مولفه‌های خمشی و برشی می‌باشند. ایشان در تئوری خود جابجایی عرضی در راستای ضخامت ورق را به‌صورت زیر تعریف می‌نماید.
(1 10)
که در آن و به‌ترتیب مولفه‌های خمشی و برشی در راستای ، و دستگاه مختصه‌ها می‌باشند. هم‌چنین میدان جابجایی درون-صفحه و ، براساس مولفه‌های جابجایی عرضی به صورت زیر تعریف گردیده‌اند.
(1 11)
که در این رابطه و مولفه‌های تغییر مکان در راستای ، و دستگاه مختصه‌ها در یک نقطه از میان صفحه است. برای جابجایی و ،می‌توان جابجایی خمشی درون-صفحه ناشی از و جابجایی برشی درون-صفحه ناشی از را جداگانه در نظر گرفت، که و مولفه‌های خمشی و هستند و و مولفه‌های برشی و هستند.
توجه شودکه مولفه‌های جابجایی خمشی ، و ، کرنش‌های برشی برون-صفحه و را ایجاد نمی‌کنند و بنابراین تنش‌های برشی متناظر و را نیز نخواهند داشت. بنابراین و به‌صورت زیر تعریف گردیده است.
(1 12)
هم‌چنین و به‌صورت زیر بیان می‌گردد.
(1 13)
مولفه‌ی برشی مربوط به جابجایی و مولفه‌ی برشی مربوط به جابجایی به‌صورتی است که:
الف) با افزایش ، کرنش‌های برشی در راستای ضخامت و به صورت سهموی تغییر می‌یابد و هم‌چنین توزیع سهموی تنش‌های برشی و در جهت ضخامت در سطح‌های بالا و پایین ورق صفر است.
ب) گشتاور‌های ، و با و اشتراکی ندارند.
وی در اولین مقاله خود تئوری دومتغیره پالوده شده ورق را به دو روش بررسی نموده است. روش اول را وردشی پایدار و روش دوم را وردشی ناپایدار نام‌گذاری نمود. در روش وردشی پایدار، معادله‌های حاکم را با فرض عدم ارتباط مولفه‌های خمشی و برشی با هم ایجاد نموده است، که در نتیجه ممان خمشی و نیروی برشی نسبت به هم مستقل می‌شوند و با استفاده از اصل مینیمم انرژی پتانسیل معادله‌های حاکم به‌دست می‌آیند. در حالت وردشی پایدار، شرط عدم ارتباط مولفه‌های برشی و خمشی حذف شده است و معادله‌های حاکم را با استفاده از رابطه‌های تعادل تئوری الاستیسیته برای ورق به‌دست آورده است. نتیجه‌های به‌دست آمده از این تئوری برای یک ورق همسانگرد مستطیلی، در آنالیز خیز و تنش با نتیجه‌های تئوری کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه صفرم و حل دقیق تئوری الاستیسیته مقایسه شده است،که نتایج تئوری دومتغیره پالوده شده ورق در هر دو حالت وردشی پایدار و وردشی ناپایدار از دقت بسیار بالاتری نسبت به تئوری کلاسیک ورق برخوردار است. ویژگی‌های استفاده از این تئوری نسبت به تئوری های دیگر به شرح زیر است:
الف) گشتاور خمشی و نیروی برشی در مسایل استاتیکی نادر‌هم‌گیر و در مسایل دینامیکی فقط ماتریس جرم درهم‌گیر است.
ب) در معادله‌های میدان جابجایی، برای ورق متقارن دو مجهول و برای ورق نامتقارن چهار مجهول وجود دارد، که تعداد مجهول‌ها در تئوری کلاسیک ورق سه ، تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول چهار مجهول، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر ردی (1985) پنج مجهول ] [27 ، نلسون و لورچ(1974) نه مجهول ] [26 ، مورتی (1977) پنج ، هفت و نه مجهول ] [20 ، لو و همکاران (1977) با یازده مجهول ] [25، کانت (1982) با شش مجهول ] [24 ، ردی (1984) با پنج مجهول ، حنا و لیسا (1994) با چهار مجهول ] [21 می‌باشند.
ج) پاسخ‌های تئوری دومتغیره پالوده شده از دقت مناسب برخوردار است و حجم محاسبات درمقایسه با دیگر تئوری‌های مرتبه بالاتر،کمتر می‌باشد.
در ادامه به مروری بر پژوهش‌های آموزش انجام گرفته با استفاده از تئوری دومتغیره پالوده شده می‌پردازیم:
در سال 2006 شیمپی و پاتل ] [29 یک ورق عمودسانگرد تک‌لایه را مورد بررسی قرار داده‌اند و آنالیز ارتعاشی برای ضخامت‌های مختلف ورق آموزش انجام گرفته است.
در سال 2009 کیم و همکاران ] [30 ، در مقاله‌ای به بررسی یک ورق مرکب لایه‌لایه با تئوری دومتغیره پالوده شده ورق پرداخته‌اند. آن‌ها معادله حرکت را با استفاده از اصل همیلتون به‌دست آورده و حل بسته یک ورق عمودچین و اریب‌چین نامتقارن را با استفاده از روش حل ناویر به‌دست آوردهاند. آن‌ها نتایج عددی ارایه شده در این تئوری را با نتایج حل سه بعدی الاستیسیته، نتایج حل تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری تغییر شکل برشی مرتبه مقایسه نموده‌اند. آن‌ها نشان داده‌اند که برای مسایل استاتیکی و رفتار کمانش یک ورق مرکب لایه‌لایه براساس تئوری دومتغیره پالوده شده پاسخ‌هایی با دقت بالا به‌دست آوردهاند.
در سال 2009 کیم و همکاران ] 31 [در مقاله‌ای دیگر تئوری دومتغیره پالوده شده ورق را بررسی نموده‌اند. دراین مقاله، آن‌ها کمانش یک ورق مستطیلی همسانگرد و عمودسانگرد را بر مبنای تئوری دومتغیره پالوده شده برای شرایط تکیه‌گاهی ساده، به روش ناویر بررسی نموده‌اند و با نتایج تئوری کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و حل دقیق تئوری الاستیسیته، برای نسبت پارامترهای مختلف مقایسه نموده‌اند. آن‌ها نشان داده‌اند که نتایج این تئوری نسبت به تئوری کلاسیک ورق، دقیق‌تر بوده و با تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، قابل مقایسه است.
در سال 2010، کیم و تای ] [32 ارتعاش آزاد یک ورق مرکب لایه‌لایه را با استفاده از تئوری دومتغیره پالوده شده ورق بررسی نموده‌اند. ایشان حل بسته مساله را با استفاده از روش ناویر برای ورق لایه‌لایه‌ی متقارن و نامتقارن عمودچین و اریب‌چین آموزش انجام داده‌اند. نتایج عددی به‌دست آمده را با حل دقیق تئوری الاستیسیته، تئوری شکل برشی مرتبه اول و تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر مقایسه و نتیجه گرفته‌اند، که تئوری دومتغیره پالوده شده در مساله ارتعاش آزاد ورق مرکب لایه‌لایه، از دقت مناسبی برخوردار است.
در سال 2011 تای و کیم ] [33 در مقاله‌ای به بررسی کمانش برای یک ورق مرکب عمودسانگرد، با استفاده از تئوری دومتغیره پالوده شده پرداخته‌اند. در این مقاله آنالیز کمانش یک ورق مستطیلی با شرایط مرزی دو لبه روبه‌رو تکیه‌گاهی ساده و دو لبه دیگر با شرایط مرزی مختلف، با استفاده از روش حل لوی آموزش انجام گرفته است و اثر شرایط مرزی، وضعیت بارگذاری، تغییرات نسبت مدول یانگ و نسبت طول به ضخامت ورق در بار بحرانی برای ورق عمودسانگرد بررسی شده است.
در سال 2012 تای و کیم ] 35[ در مقاله‌ای دیگر به بررسی ارتعاش آزاد یک ورق عمودسانگرد، با استفاده از تئوری دومتغیره پالوده شده پرداخته‌اند. در این مقاله حل بسته برای یک ورق مستطیلی به روش حل لوی آموزش انجام گرفته است و برای پارامترهای مختلف، فرکانس‌های طبیعی به‌دست آمده است.
در همان سال، تای و کیم ] [34 در مقاله‌ای خیز و تنش را برای یک ورق مرکب عمودسانگرد با استفاده از تئوری دومتغیره پالوده شده به‌دست آوردهاند و اثر شرایط مرزی و پارامترهای مختلف، بر خیز و تنش یک ورق عمودسانگرد بررسی شده است.
نارندار وکوپالاکریشنا ] 36[ در سال 2012 آنالیز کمانش یک ورق نانو عمودسانگرد مانند گرافن را با استفاده از تئوری دومتغیره پالوده شده برای اثرهای نا‌موضعی مقیاس کوچک ، آموزش انجام داده‌اند.آن‌ها معادله حرکت را با استفاده از اصل جابجایی مجازی به‌دست آورده و حل بسته را برای یک ورق مستطیلی عمودسانگرد به روش ناویر برای شرایط تکیه‌گاهی ساده به‌دست آوردهاند و نتایج را با تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول برای ضریب‌های اصلاح برشی مختلف مقایسه نموده‌اند. در این مقاله اثر نسبت طول به ضخامت و نسبت فشار بر کمانش یک ورق نانوی عمودسانگرد بررسی شده است.
در سال 2013 تای و کیم ] [37 ، خمش و ارتعاش آزاد یک ورق FGM را با استفاده از تئوری‌های مرتبه بالاتر و تئوری دومتغیره پالوده شده مورد بررسی قرار داده‌اند. در این مقاله نشان داده میشود، که نتایج حل دقیق تئوری برای شرایط تکیه‌گاهی ساده با تعداد مجهول‌های کمتر در معادله‌های حاکم، به همان دقت تئوری‌های دیگر مرتبه بالاتر ورق با تعداد مجهول‌های بیشتر است.
ملک زاده و شجاعی ] [38 در مقاله‌ای در سال 2013 به بررسی ارتعاش آزاد ورق نانو با استفاده از تئوری دومتغیره پالوده شده پرداخته‌اند. آن‌ها معادله‌ی حرکت و شرایط مرزی را با استفاده ازمعادله‌های ساختاری نا‌موضعی ارینگن بر پایه تئوری ورق دومتغیره پالوده شده با استفاده از اصل همیلتون به‌دست آوردند. معادله‌های به‌دست آمده، فقط در حالت دینامیکی درهم‌گیر می‌باشند. آن‌ها با استفاده از روش DQM، اثر پارامترهای کوچک را روی فرکانس‌های ارتعاش آزاد یک نانو ورق برای شرایط مرزی گوناگون بررسی نموده‌اند.
تای و چوی ] [39 در سال2013، به بررسی ورق همسانگرد، برای مسایل خمش،کمانش و ارتعاش آزاد یک ورق بر پایه‌ی تئوری دومتغیره پالوده شده پرداخته‌اند و نتایج آن را با تئوری کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم مقایسه نموده‌اند.
تای و چوی ] [40 در همان سال، به‌روش المان محدود یک ورق مستطیلی مرکب لایه‌لایه را بر اساس تئوری دومتغیره پالوده شده تحلیل نموده‌اند. آن‌ها برای مولفه‌های جابجایی درون-صفحه از تابعهای شکل لاگرانژی و برای مولفه‌های جابجایی برون-صفحه از تابعهای شکل مرتبه سوم هرمیتی استفاده نموده‌اند.آن‌ها اثرهای تغییر نسبت ضخامت به طول ورق، چیدمان و تغییر زاویه ی لایه‌ها را بر تغییر شکل برشی، پاسخ ارتعاش آزاد و کمانش ورق مرکب لایه‌لایه بررسی نموده‌اند.
تای و لی ] [41 درسال 2013 در مقاله‌ای آنالیز کمانش یک ورق FGM را براساس تئوری دومتغیره پالوده شده آموزش انجام داده‌اند و حل بسته را برای ورق مستطیلی با شرایط مرزی دو لبه روبه‌رو تکیه‌گاهی ساده و دو لبه‌ی دیگر شرایط دلخواه به روش لوی به‌دست آوردهاند. آن‌ها اثر پارامترهای شاخصه‌ی قانون توان و نسبت طول به ضخامت را بر روی بار بحرانی بررسی نموده‌اند.
تای و چوی ] [42 در سال 2014، تئوری دومتغیره پالوده شده را برای حل ارتعاش آزاد یک ورق FGM استفاده نموده‌اند و حل بسته این تئوری را برای یک ورق مستطیلی با شرایط مرزی دو لبه‌ی روبه‌رو تکیه‌گاهی ساده و دو لبه‌ی دیگر شرایط دلخواه، به روش لوی آموزش انجام داده‌اند و نتایج آن با تئوری‌های کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر مقایسه شده است.
1-2 روش المان محدود سلسله مراتبی
1-2-1 مقدمه
با ابداع روش المان محدود و به دنبال توسعه و تکامل کامپیوتر، انقلابی در به‌کارگیری روشهای مختلف عددی در عرصه علوم مختلف فنی مهندسی به‌وجود آمد. به‌عنوان مثال، بسیاری از مسایل علم مکانیک جامدات و مهندسی سازه دارای حل تئوری نیستند،که با استفاده از روش المان محدود و حل معادله‌های حاکم به‌وسیله روشهای مختلف عددی حل شده‌اند. روش المان محدود، روش تقریبی برای حل عددی مسایلی است، که امکان حل تئوری آن‌ها وجود ندارد. به همین دلیل دقت و همگرایی روش المان محدود اهمیت زیادی پیدا می‌کند.
1-2-2 روشهای المان محدود
در حالت کلی، روش المان محدود را می‌توان به عنوان یک حالت خاص از روش ریلی- ریتز در نظر گرفت، با این فرض که از تابعهای متفاوتی برای حل مساله استفاده میشود. دیدگاه‌های مختلفی برای افزایش دقت پاسخ‌های روش المان محدود بیان گردیده است، که بهطورکلی آن‌ها به سه دسته کلی تقسیم‌بندی می‌شوند.
1- روش h
در روش المان محدود استاندارد، دامنه مورد نظر به یک مجموعه زیر‌دامنه‌های ریزتر تقسیم‌بندی میشود، که الزاما یکسان نیستند. سپس حل مساله با استفاده از تابعهای چندجملهای به‌صورت تقریبی، روی محدوده هر زیر‌دامنه به‌دست می‌آید. مرتبه چند‌جمله‌ای‌های به‌کار‌گرفته شده، معمولا کوچکتر یا مساوی سه می‌باشد. با افزایش زیر‌دامنه‌ها (کوچکتر‌کردن المان‌ها و در نتیجه افزایش تعداد آن‌ها) دقت حل مساله افزایش می‌یابد. در این روش مرتبه چندجملهایها ثابت در نظر‌گرفته میشود. روش h به سه‌گونه، دقت حل مساله را افزایش می‌دهد:
الف) غنی‌سازی شبکه، که حل را با یک شبکه آغاز می‌کند و سپس به‌طور موضعی شبکه پالایش می‌گردد (المان‌بندی ریزتر میشود).
ب) ساختن مجدد شبکه، که با تعریف تابع‌ها‌یی که شبکه ساز می‌باشند، پس از هر بار حل مساله و برآورد خطا به‌طور خودکار شبکه‌ی جدید تولید می‌گردد. از این روش معمولا در شبکه‌هایی استفاده میشود، که المان مثلثی دارند.
ج) پالایش یکنواخت شبکه، که حل را با یک شبکه آغاز می‌کند و سپس تمام شبکه به‌طور یکسان پالایش میشود.
2- روش p
در این روش در هنگام حل مساله، همان شبکه اولیه مورد استفاده قرار می‌گیرد، اما مرتبه‌ی تابعهای شکل به‌صورت موضعی یا جهانی افزایش می‌یابد. در این روش به‌طور معمول از تابعهای شکل ویژه‌ای استفاده میشود، که اجرای آن را ساده‌تر می‌کنند. پالایش شبکه به روش pبا روش سلسله مراتبی تفاوت اندکی دارد، به‌گونه‌ای که روش سلسله مراتبی زیر‌مجموعه‌ی روش p می‌باشد و در حقیقت روش p به دو‌گونه شبکه‌بندی را پالایش می‌نماید:
الف) مرتبه چندجملهایها به‌صورت یکنواخت در تمام دامنه افزایش یابند.
ب) مرتبه چندجملهایها به‌صورت موضعی توسط روش سلسله مراتبی افزایش یابند.
در روش المان محدود سلسله مراتبی، دامنه مورد نظر ثابت در نظر گرفته میشود، (به اجزا کوچکتر تقسیم نمی‌شود) و به‌جای آن، مرتبه چندجملهایها افزایش می‌یابد. بنابراین روش المان محدود سلسله مراتبی شباهت بیشتری به روش ریلی- ریتزدارد، با این تفاوت که همگرایی بهتر و سریعتری نسبت به روش ریلی-ریتز دارد، که از تابعهای تغییر مکانی موضعی به جای تابعهای جهانی استفاده شده است.
3-روش h-p
در این روش، به‌طور هم‌زمان از روشهای h وp استفاده میشود. یعنی پس از هر بار حل مساله و برآورد خطا، شبکه به‌طور موضعی پالایش می‌گردد و هم‌چنین مرتبه‌ی تابعهای شکل افزایش می‌یابند. در ادامه‌ی این فصل مروری بر مقاله‌های مرتبط با روش المان محدود سلسله مراتبی خواهیم داشت و با بیان مفهوم این روش در یک مثال، تابعهای شکل سلسله مراتبی یک‌بعدی و دوبعدی ارایه می‌گردد.
1-2-3 مروری بر کارهای آموزش انجام گرفته در زمینه روش المان محدود سلسله مراتبی
در سال 1990 اوداپا و ارادان ] [43 ارتعاش آزاد تیر چرخان را به روش المان محدود سلسله مراتبی بررسی نموده‌اند. در زمینه استفاده از تابعهای شکل سلسله مراتبی برای حل مساله ارتعاش آزاد ورق، بردل ] [45، فعالیت زیادی داشته است. ایشان در سال 1991 با انتشار مقاله‌ای ] [45، ازتابع‌ها‌ی سلسله مراتبی در حل مساله ارتعاش آزاد ورق‌های مستطیلی استفاده کرده است . هم‌چنین بردل در سال 1992 در مقاله‌ی دیگری ] [44 ، مساله ارتعاش آزاد ورق‌های متوازی الاضلاع را به‌کمک روش المان محدود سلسله مراتبی مورد بررسی قرار داده است.
بسلین و نیکلاس ] [46 در سال 1977 یک مجموعه تابعهای شکل سلسله مراتبی را که به‌صورت سینوسی می‌باشند، برای حل مساله ارتعاش آزاد ورق‌های مستطیلی معرفی کرده‌اند. آن‌ها نشان دادند که استفاده از این تابعهای سینوسی، به‌جای استفاده از تابعهای چندجملهای باعث بالارفتن دقت حل عددی مساله ارتعاش آزاد ورق، به‌خصوص برای مودهای ارتعاشی مرتبه بالاتر می‌گردد.
در سال 1997 پتیت و هان [47] ، به بررسی ارتعاش آزاد و واداشته یک ورق همسانگرد و از نظر هندسی غیر خطی برای شرایط تکیه‌گاهی چهارطرف گیردار پرداخته‌اند.
هومت ] [48 در سال 1997، تابعهای مثلثاتی را برای روش المان محدود سلسله مراتبی به‌کار گرفته و یک ورق مستطیلی همسانگرد را مورد بررسی قرار داده است.
آژرید و همکاران ] [49 در سال 2001، تابعهای سلسله مراتبی مثلثی و چهاروجهی را برای روش المان محدود روش p در حالت دوبعدی و سه بعدی ارایه نموده است.
یو و همکاران ] [50 در سال 2010 ، یک تیر را به روش المان محدود چند متغییره سلسله مراتبی تحلیل نموده‌اند.
کوتساوا و همکاران ] [53 ، در سال 2013 به بررسی استاتیکی مدل تیر مرکب با لایه‌های پیزوالکتریک پرداخته‌اند.
1-2-4 ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی
همان‌گونه که در بخش قبل گفته شد، برای یک شکل ساده در روش المان محدود سلسله مراتبی، با استفاده از تنها یک المان و افزودن مرتبه چند‌جمله‌ای‌های مورد استفاده، می‌توان به‌پاسخ مناسب دست یافت. این ویژگی از یک سو باعث صرفه جویی قابل ملاحظه‌ای در استفاده از منابع کامپیوتری شده واز سوی دیگر وقت کمتری را برای آماده کردن اطلاعات ورودی مربوط به شبکه المان بندی سازه نیاز دارد. برای مثال، زابو و باسو ] [51 نشان داده‌اند، که از روش المان محدود سلسله مراتبی می‌توان در حل مسایلی که دارای ناحیه تکین می‌باشند، با استفاده از تعداد کمی المان استفاده نمود.
بهطورکلی چهار ویژگی مهم روش المان محدود سلسله مراتبی در حل مسایل ارتعاش آزاد و پایداری صفحه‌ها، به‌صورت زیر است.
1- در روش المان محدود سلسله مراتبی، با افزودن مودهای سلسله‌مراتبی از مرتبه‌های بالاتر، می‌توان به پاسخ واقعی نزدیکتر شد، که این امر نیازی به تغییر در ابعاد المان‌های شبکه و تعداد گره‌ها ندارد.
2- در روش المان محدود سلسله مراتبی، با افزایش مرتبه تابعهای شکل، مرتبه ماتریس سختی و ماتریس جرم المان نیز افزایش می‌یابد و ماتریس‌های سختی و جرم اولیه (که با استفاده از تابعهای شکل با مرتبه پایین‌تر به‌دست آمده‌اند) در درون ماتریس‌های جدید قرار می‌گیرند. این ویژگی خود دفنی باعث میشود که همواره مقدار ویژه محاسبه شده، به‌صورت مجانبی و از سمت بالا به‌سمت مقدار واقعی خود میل کند. به عبارت دیگر، این ویژگی که اصل آخال نیز نامیده میشود، باعث میشود که نتایج به‌دست آمده از روش المان محدود سلسله مراتبی، حد بالای پاسخ دقیق مساله باشند.
3- برای مسایل مقدار ویژه با مرتبه‌ی یکسان، بوراه و میرویچ ] [52 نشان داده‌اند که پاسخ‌های روش المان محدود سلسله مراتبی، از پاسخ‌های روش المان محدود استاندارد دقیق‌تر است.
4- با استفاده از روش المان محدود سلسله مراتبی، سازه‌های ساده مثل یک ورق را می‌توان تنها با یک المان مدل نمود. این امر باعث میشود تا نیازی به ارضای پیوستگی و در مرز مجاور المان‌ها نداشته باشیم.
5- اتصال المان‌ها با چند‌جمله‌ای‌های مرتبه‌ی متفاوت سخت نیست، بنابراین در جایی که نیاز است، می‌توان از چند‌جمله‌ای‌های مرتبه بالاتر استفاده نمود.
1-3 اهداف پژوهش
در این پژوهش ابتدا تئوری‌های کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری دومتغیره پالوده شده بیان گردیده و تفاوت و توانایی این تئوری‌ها در تحلیل ارتعاشی ورق مرکب لایه لایه بررسی خواهد شد .سپس روش المان محدود استاندارد و روش المان محدود سلسله مراتبی برای هر یک از این تئوری‌ها ارایه می‌گردد و برای پارامتر های گوناگون ورق مرکب لایه لایه، قابلیت روش المان محدود سلسله مراتبی نسبت به روش المان محدود استاندارد بررسی خواهد شد. استفاده از روش المان محدود سلسله مراتبی در بررسی مساله ارتعاش آزاد ورق لایه‌لایه نوآوری این پژوهش می‌باشد.
